Leyes de Morgan

¿Quién fue Morgan?

Augustus De Morgan fue un notable matemático y lógico inglés. Nació el 27 de junio de 1806 en Madurai, India. Estudió en el Trinity College de Cambridge, siendo alumno de G. Peacock y W. Whewell. En 1828 fue el primer Profesor de Matemáticas en el University College London.

Hizo aportaciones importantes en álgebra e historia de las matemáticas; su contribución más destacada fue en lógica. Poseía conocimientos de astronomía, estadística y probabilidad, y era aficionado a los acertijos matemáticos.

En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan​ son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.

Primera ley de Morgan

El complemento de un producto de “n” variables es igual a la suma de los complementos de “n” variables. En otras palabras el complemento de dos o más variables a las que se les aplica la operación AND es equivalente a aplicar la operación OR.

X · Y = X + Y

Ejemplo primera ley:

Suponiendo que tenemos la siguiente expresión:

A · B · C · D

Considerando A=1, B=0, C=1 y D=0.

Aplicando la primera ley de De Morgan:

A · B · C · D = A + B + C + D

Al sustituir los valores correspondientes de las letras obtenemos:

1 · 0 · 1 · 0 = 1 + 0 + 1 + 0

Al realizar la multiplicación del lado izquierdo de la ecuación obtenemos “0” negado.

0 = 1 + 0 + 1 + 0

Aplicamos la negación o inverso y el resultado sería:

1 = 0 + 1 + 0 + 1

Ahora bien al sumar los números lógicos tenemos que 1 + 1 = 1 por lo tanto:

1 = 1

  

Segunda ley de Morgan

El complemento de una suma de “n” variables es igual al producto de los complementos de “n” variables. En otras palabras el complemento de dos o más variables a las que se les aplica la operación OR es equivalente a aplicar la operación AND.

                                                         

X + Y = X · Y

Ejemplo segunda ley:

Suponiendo que tenemos la siguiente expresión:

 A + B + C + D

Considerando A=1, B=0, C=1 y D=0

Aplicando el segundo teorema de De Morgan:

A + B + C + D = A · B · C · D

Al sustituir los valores correspondientes de las letras obtenemos:

1 + 0 + 1 + 0 = 1 · 0 · 1 · 0

Al realizar la suma del lado izquierdo de la ecuación obtenemos “1” negado, recordemos que 1 + 1 = 1.

1 = 1 · 0 · 1 · 0

Aplicamos la negación o inverso y el resultado sería:

0 = 0 · 1 · 0 · 1

Ahora bien al multiplicar el lado derecho de la ecuación obtenemos:

0 = 0

COMPUERTAS OBTENIDAS CON EL TEOREMA DE MORGAN

Con esto demostramos las leyes de De Morgan, con estas dos leyes es posible llegar a una gran variedad de conclusiones, por ejemplo:

Se puede obtener una compuerta AND al utilizar una compuerta NOR con sus entradas negadas:

A · B

=

A + B

Se puede obtener una compuerta OR al utilizar una compuerta NAND con sus entradas negadas:

A + B

=

A · B

Se puede obtener una compuerta NAND al utilizar una compuerta OR con sus dos entradas negadas, como indica la primera ley de De Morgan:

A · B = A + B

Se puede obtener una compuerta NOR al utilizar una compuerta AND con sus entradas negadas, como indica la segunda ley de De Morgan:

A + B = A · B

Acontinuación les dejaré unos videos para tener más claro el concepto:

MUCHAS GRACIAS ESPERO LES SIRVA!!!

By: Samuel Castellanos